Testy t Studenta

Co badają testy t?

Tego rodzaju testy będą dla nas przydatne, gdy chcemy stwierdzić, czy wyniki w jednej grupie są większe bądź mniejsze niż w drugiej grupie i czy te różnice są istotne statycznie. Zastosowanie testów t jest bardzo szerokie. Często są one stosowane w naukach medycznych, przyrodniczych, społecznych, ale również mają swoje zastosowanie w biznesie.

Na przykład, grupie pacjentów z podwyższonym stężeniem cholesterolu był podawany nowy lek. Dokonano pomiaru u pacjentów przed podaniem leku oraz po podaniu leku. Następnie badacz chce sprawdzić, czy wyniki pierwszego pomiaru cholesterolu różnią się od drugiego. W tym celu, aby określić, czy różnice są istotne statystycznie, możemy skorzystać z testu t dla prób zależnych. Innym przykładem może być producent płatków śniadaniowych, który może pobrać próbkę opakowań z linii produkcyjnej i sprawdzić, czy średnia masa próbek różni się od zakładanej wartości.

W zależności od tego,  z jakich grup badawczych pochodzą średnie możemy wyróżnić 3 rodzaje testów t Studenta:

1. test t Studenta dla jednej próby
2. test t Studenta dla prób zależnych
3. test t Studenta dla prób niezależnych

Kiedy można stosować test t Studenta?

Testy t Studenta są testami parametrycznymi i przed ich zastosowaniem należy spełnić pewne założenia:

• Przede wszystkim należy pamiętać, że testy t stosujemy, gdy chcemy porównywać tylko dwie grupy wyników.
• Wynik powinien być zmienną ilościową, dla której liczymy średnią arytmetyczną.
• W przypadku zmiennej zależnej, jej rozkład powinien być zbliżony do rozkładu normalnego.
• W przypadku test t dla prób niezależnych, wymagane jest spełnienie założenia o jednorodności wariancji w porównywanych grupach.
• Należy również zapewnić, aby porównywane grupy były równoliczne.

Interpretacja wyniku testu

Interpretacja otrzymanych wyników testów t Studenta jest stosunkowo prosta. W zależności od wybranego testu t oraz oprogramowania statystycznego otrzymamy informacje o średnich arytmetycznych, odchyleniu standardowym, różnicy średnich, wyniku testu t, stopniach swobody oraz poziomie istotności testu. Najczęściej przyjmuje się, że jeśli poziom istotności jest mniejszy niż 0,05, to różnice średnich są istotne statystycznie.

Test t dla jednej próby

Jest to najprostsza forma testu t, która służy do sprawdzenia, czy średnia wartość, którą uzyskaliśmy w badaniu różni się od zakładanej wartości. W tym przypadku mamy tylko jedną próbę badaną, w której dokonujemy pomiaru, a następnie ten wynik porównujemy np. z wartością ustaloną na podstawie teorii.

Przykład:

Test t dla jednej próby możemy zastosować w celu sprawdzenia, czy średni wynik uczniów klasy A z egzaminu różni się istotnie statystycznie od wartości średniej uzyskanej przez uczniów z innego kraju.

Założenia dla testu t dla jednej próby:

1. Badana zmienna jest mierzona na skali ilościowej.
2. Rozkład badanej zmiennej jest zbliżony do rozkładu normalnego.

Wzór na test t Studenta dla jednej próby:

 – średnia z próby

M – średnia teoretyczna, wartość porównywana

SD – odchylenie standardowe

Test t dla prób zależnych

Służy do oszacowania, czy średnie pochodzące z dwóch powiązanych ze sobą prób różnią się między sobą. Próby są zależne dlatego, że wynik pierwszego pomiaru oraz wynik drugiego pomiaru dotyczą tych samych obserwacji. Zaletą badania z powtarzanym pomiarem jest możliwość wyeliminowania indywidualnych różnic między osobami biorącymi w nim udział. Jeśli nie są spełnione założenia dla testu t, należy użyć jego nieparametrycznego odpowiednika, tj. testu Wilcoxona.

Przykład:

Badacz testuje działanie nowego leku na obniżenie ciśnienia krwi. W grupie 50 pacjentów, dla każdego z nich, dokonywany jest pomiar ciśnienia krwi przed i po podaniem leku. W celu sprawdzenia, czy różnice są istotne statystycznie należy wykonać test t dla prób zależnych.

Założenia dla testu t dla prób zależnych:

1. Porównywane grupy obserwacji muszą być zależne.
2. Zmienne są mierzone na skali ilościowej.
3. Rozkłady zmiennych są zbliżone do rozkładu

Wzór na test t Studenta dla prób zależnych:

d – różnica między średnimi dla pomiarów

n – liczba obserwacji

Test t dla prób niezależnych

Ten rodzaj testu ma zastosowanie od porównania wyników dla dwóch niezależnych grup, np. grupy kontrolnej z grupą eksperymentalną, grupę kobiet i grupę mężczyzn lub grupę studentów studiów humanistycznych ze studentami studiów ścisłych. Jeżeli różnica średnich jest wystarczająco duża, zakłada się, że dwie porównywane grupy różnią się istotnie statystycznie pod względem wartości zmiennej zależnej.

Test t dla prób niezależnych ma najwięcej założeń do spełnienia. Jednym z założeń jest jednorodność wariancji porównywanych grup, jednakże warto zaznaczyć, że jeśli to założenie nie jest spełnione, możliwe jest wykonanie tego testu z poprawką uwzględniającą brak jednorodności wariancji.

Test U Manna-Whitneya jest nieparametrycznym odpowiednikiem dla testu t dla prób niezależnych.

Przykład:

Na uniwersytecie postanowiono sprawdzić, czy studenci, którzy uczestniczyli w zajęciach ze statystyki prowadzonych on-line mają lepszy wynik z egzaminu końcowego niż studenci, którzy uczestniczyli w standardowych zajęciach na uczelni. W celu zweryfikowania różnic należy użyć testu t dla prób niezależnych.

Założenia dla testu t dla prób niezależnych:

1. Porównywane grupy obserwacji muszą być niezależne.
2. Równoliczność porównywanych grup obserwacji.
3. Jednorodność wariancji w badanych grupach.
4. Zmienne są mierzone na skali ilościowej.
5. Rozkłady w badanych grupach są zbliżone do rozkładu

Wzór na test t Studenta dla prób niezależnych (spełnienie założenia o jednorodności wariancji w analizowanych grupach):

– średnia dla pierwszej grupy

– średnia dla drugiej grupy

 – odchylenie standardowe dla pierwszej grupy

 – odchylenie standardowe dla drugiej grupy

 – liczba obserwacji dla pierwszej grupy

 – liczba obserwacji dla drugiej grupy

Piwna historia testu t Studenta

Na zakończenie ciekawostka na temat testu t Studenta. Zastanawiać może skąd wzięło się określenie Student w nazwie testu. Czy jest to test tylko dla studentów i jest on tylko wykorzystywany do pomiaru cech studentów? Czy może jest to jeden z pierwszych testów statystycznych jakie poznają studenci i stąd ta nazwa? Historia tej nazwy jest jednak trochę inna i warto ją krótko przedstawić.

Historia jest związana z postacią Williama Gosseta, z wykształcenia chemika i matematyka. Gosset, został zatrudniony w browarach Guinness w Dublinie jako jeden z naukowców, którzy mieli zapewnić kontrolę oraz odpowiednią jakość produkcji.

Piwo jest połączeniem naturalnych produktów, tj. jęczmienia słodowanego, chmielu, drożdży oraz wody. Te naturalne produkty mają wrodzoną zmienność – ich jakość zależy od szeregu czynników zewnętrznych: odmiany upraw, ale także od warunków klimatycznych, glebowych itp. Zadaniem Gosseta była nie tylko ocena jakości tych produktów, ale także wykonanie kontroli w sposób efektywny kosztowo. Wymagało to przeprowadzenia eksperymentów z małą liczbą próbek w celu wyciągnięcia wniosków, które można zastosować w procesie warzenia na dużą skalę. Gosset odkrył, że przy użyciu małych próbek rozkład średnich odbiegał od rozkładu normalnego. Dlatego, aby wyciągnąć wnioski nie mógł użyć konwencjonalnych metod statystycznych opartych na rozkładzie normalnym. W rezultacie udało mu się opracował metodę, która dawała możliwość efektywnego porównywania niewielkich próbek.

Gosset chciał opublikować wyniki swojej pracy jednak uniemożliwiała to polityka prywatności Guinnessa. W rezultacie browar i naukowiec doszli do porozumienia i Guinness pozwolił Gossetowi opublikować swoje obserwacje anonimowo i nie wykorzystując żadnych danych firmy. W. Gosset zastosował się do wytycznych i opublikował wyniki w 1908 roku w artykule pt. „The Probable Error of a Mean” w czasopiśmie Biometrica pod pseudonimem „Student”. Co do samego pseudonimu nie ma pewności skąd pomysł na taką nazwę, ale można sądzić, że pochodził z okładki używanego wówczas przez W. Gosset notatnika naukowego[1].

[1] Ziliak, Stephen T. 2008. "Retrospectives: Guinnessometrics: The Economic Foundation of "Student's" t." Journal of Economic Perspectives, 22 (4): 199-216.